Detailed check

3. Detailed check

De gedetailleerde toets is een volledig probabilistische toets op vakniveau (2a2a). De indeling in vakken wordt beschreven in de schematiseringshandleiding [Van den Ham 2015b]. Per vak moeten achtereenvolgens de volgende stappen worden uitgevoerd:

...

The detailed check is a probabilistic check on section level ("vakniveau"). The way in which dike sections are defined are described in the Schematiseringshandleiding zettingsvloeiing. Per dike section the following steps have to be passed through subsequently, see also Rekenregels voor gedetailleerde toets:

Step 1             Determine the probability of occurrence per subsurface scenario S_i: P(ZV|S_i)

Step 2             Determine the probability of occurrence for all subsurface scenario's: P(ZV|S_i)P(S_i)  (not supported by D-FlowSlide)

Step 3             Determine the probability of exceedance of the maximum allowable retrogression length (inscharingslengte) given the occurrence of a flow slide

...

: P(L > L_toelaatbaar|ZV)

...

.

Step 4             Determine the probability of exceedance of the maximum allowable retrogression length (inscharingslengte) of the dike section:P(L > L_toelaatbaar)_vak

...

.

Step 5             Check if P(L > L_toelaatbaar)_vak is less than the allowable probability P_eis,vak. (not supported by D-FlowSlide)

...

Step 2 is not supported by D-FlowSlide. In case of more than one subsurface scenario, for each scenario (

P(L > L_toelaatbaar)_vak

...

)P(S_i) can be calculated and then combined in (P(L > L_toelaatbaar)_vak). In fact step 2 is done after step 4.

Also Step 5 is not supported by D-FlowSlide and should be done by hand.

Step 1

Determine the probability of occurrence per subsurface scenario

In de volgende paragrafen worden deze stappen beschreven.

Stap 1

Bepaal optredingskans zettingsvloeiing per ondergrondscenario P(ZV|S_i)Eerst wordt per ondergrondscenario (zie schematiseringshandleiding) de

frequentie berekend metFirst per subsurface scenario the frequency F(ZV|S_i) is calculated:

 Vervolgens kan de frequentie omgerekend worden in een kans via het Poisson proces

The frequency is transformed into a probability with:

...

Hoe de parameters in bovenstaande formule moeten worden bepaald staat in de schematiseringshandleiding beschreven. Hieronder volgt alleen een korte beschrijving, waarbij de parameters zijn onderverdeeld in parameters die betrekking hebben op de geometrie, de grondeigenschappen en –toestand en beweeglijkheid van de vooroever.

Geometrie:

H_R [m] is de hoogte van het meest ongunstige onder water rekentalud in de beoordelingsperiode (zie Figuur 3.3),

H_R wordt als volgt bepaald:

waarin:

 (fictieve hoogte van het taludhoogte van de dijk uitgaande van een waterverzadigd dijklichaam, met h_dijk is hoogte van dijk)

(fictieve hoogte van de geulhelling, met d is waterdiepte en Dh_onder is hoogte van de geulhelling dat bij extreem laagwater boven water ligt).

B is breedte van het voorland. Voor een schaardijk geldt B = 0.

• cota_R is gelijk aan cota_onder.
• H [m] is de hoogte van het onder water talud ( )

Materiaalparameters:

• y_5m [-] is de gemiddelde waarde van de state parameter over de 5 m tussen geulrand en 0,5 H_R onder de geulbodem waarin de state parameter het hoogst is (dus meest losgepakt),
• d_50,gemiddeld [m] de gemiddelde mediane korreldiameter is over alle zand- en siltlagen tussen geulrand en geulbodem.
• F_{cohesivelayers} [-] is een parameter die de invloed van stoorlagen uitdrukt:

Beweeglijkheid:

• V_lokaal is een maat voor de beweeglijkheid van de vooroever. Deze kan bepaald worden door de grootste waarde te nemen van:

–         de snelheid van de terugschrijding of vooruitgang van de waterlijn,

–         de terugschrijding of vooruitgang van het gemiddelde talud

–         de snelheid van de verdieping aan de teen maal cotα_R.

De minimale waarde die ingevuld moet worden voor V_lokaal is 0,01 m/jaar

• V_Zeeland is de beweeglijkheid van een gemiddelde Zeeuwse vooroever, waarop de optredingskansformule in de gedetailleerde toetsmethode gebaseerd is. Voor V_Zeeland dient 1 m/jaar gekozen te worden.

Voor meer informatie over bepaling van deze parameters wordt verwezen naar de schematiseringshandleiding.

Stap 2

Bepaling optredingskans zettingsvloeiing voor alle grondopbouwscenario’s P(ZV)

Combineer de optredingskansen voor de verschillende ondergrondscenario’s, zoals bepaald in de vorige paragraaf,  tot een totale optredingskans (zie [Schweckendiek 2014]):

waarin P(S_i) de kans van aantreffen op scenario S_i is. Hierbij geldt dat .

Stap 3

Bepaal overschrijdingskans toelaatbare inscharingslengte gegeven een vloeiing P(L > L_toelaatbaar|ZV)

Als een zettingsvloeiing plaatsvindt, zal een deel van het vervloeide materiaal naar de zijkanten afvloeien. Door dit tweedimensionale effect zal de oppervlakte van de verdwenen grond bovenin het dwarsprofiel (Area 1 in Figuur 3.4) ongeveer een factor 1,4 groter zijn dan de oppervlakte van de grond die er aan de onderkant (Area 2) bijkomt. Het uitvloeiingsprofiel heeft ook niet één gelijkmatige taludgradiënt maar bestaat uit ruwweg twee delen; een zeer flauw ondergedeelte en een steiler bovengedeelte. Indien deze verhouding wordt meegenomen, luidt de formule:

met:

,

c = verhouding tussen Area1 en Area2 (A1=cA2). c=1,4 kan aangehouden worden[1]

H = de totale hoogte van het onderwatertalud, moet de werkelijke hoogte tot aan het voorland worden genomen (en dus niet fictieve rekenhoogte H_R)

D = steile gedeelte schadeprofiel

Figuur 3.4    Inscharingslengte (L) na zettingsvloeiing

De variabelen in bovenstaande formule zijn onzeker. Op basis van statistische analyse van de geometrische kenmerken van circa 140 vloeiingen in de Zuidwestelijke Delta is voor elke variabele de verwachtingswaarde, standaardafwijking en type verdeling bepaald. De resultaten zijn weergegeven in onderstaande tabel.

A detailed description how the parameters in the equations above should be determined is given in the schematiseringshandleiding. Below a brief description is given, by subdividing the parameters referring to slope geometry, soil properties/state and dynamics of the geometry respectively:

Geometry (see figure below):

The geometry of the fictitious under water slope (rekentalud), resulting in highest probability of failure during the assessment period (e.g. 12 years) is characterized by the fictitious slope height H_R [m] slope angle α_R [graden]:

with

in which:

H_geul     channel depth [m]

Δh_onder  height of the slope above the water level during extremely low tide: “niveau van geulrand” – “niveau LLWS/OLW/OLR” [m]

h_dijk       crest height of the dike above the outer dike toe [m]

B          distance between outer dike toe and top of the top of the channel bank ("geulrand"). In case of a "schaardijk": B = 0 [m]

α_R         angle the (schematized) under water slope [degrees]

α_boven    angle of the outer slope of the dike [degrees]

α’_boven   fictitious slope angle of a line running from the top of the channel bank to the crest of a fictitious dike with a height equal to two times the actual dike height [degrees]. In case of a "schaardijk" α’_boven = α_boven

Other parameters in the figure (Dutch)

LLWS meerjarig gemiddelde van het laagste springlaagwater ten opzichte van NAP, geldig in het kustgebied en de estuaria.

OLW    Overeengekomen Laag Water ten opzichte van NAP, geldig in het benedenrivierengebied (in Waal stroomafwaarts van Tiel).

OLR     Overeengekomen Lage Rivierstand ten opzichte van NAP, geldig in het boven­rivierengebied (in Waal stroomopwaarts van Tiel), hetgeen overeen­komt met de Overeengekomen Lage Afvoer bij Lobith.

A detailed description how various bends (characteristic points) are determined is given in the schematiseringshandleiding.

Image Added 

Material parameters:

ψ_5m,kar            characteristic value of ψ_5m [-]. ψ_5m is the value of the state parameter ψ averaged over a total (cumulative) thickness of 5 m of sand layers in which the state parameter is the highest (most liquefiable) and which are between the ground water level and a depth of 0,5 H_R below the channel bottom.

d_{50,gemiddeld,kar}   characteristic value of d_50,gemiddeld [m]. d_50,gemiddeld is the average value of d50 in all sand layers between the top of the channel bank and the channel bottom.

F_{cohesivelayers}     is a parameter expressing the influence of thin clay and peat layers (between 0.5 m and 5 m thickness) within the sand layers [-]. See table below

Dynamics of the under water slope:

• V_lokaal is a measure for the dynamics of the under water slope. This parameter is the largest value of:

–         velocity of backward or forward displacement of the waterline,

–         velocity of backward or forward displacement of the average under water slope

–         velocity of deepening of the channel bottom multiplied with cotα_R.

The minimum value of V_lokaal is 0,001 m/year

• V_Zeeland is the average value of V_lokaal of the under water slopes in Zeeland, that form the basis of the equation of the probability of occurrence of flow sliding.  V_Zeeland = 1 m/year

Step 2 (not supported by D-FlowSlide )

The probabilities of occurrence per subsurface scenario are combined with:

in which P(S_i) is the probability of occurrence of a subsurface scenario S_i. Furthermore: Image Added.

Step 3

The method to predict the retrogression length of a flow slide is based on analysis of the pre- and post failure geometries of a large number of flow slides in Zeeland. The figure below gives the variables that D-FlowSlide uses to calculate the retrogression length.

In top-view most flow slides show a hourglass shape: a shelf-shaped scar around the erosion area, a narrow flow channel and a wide, cone-shaped sedimentation area. If schematized in 2D cross section through the centerline of the flow slide the surface area of part in which soil is removed (Area 1 in figure below) is in average approximately 1.4 times larger than the deposition area (Area 2). Generally the resulting profile roughly consists of two parts: a very gentle lower part and a much steeper upper part, see figure below.

Image Added

Figuur: Inscharingslengte (L) na zettingsvloeiing

The variables in the figure above are uncertain. Based on statistical analysis of ca 140 flow slides in Zeeland for each variable the expected values, standard deviation and distribution type were derived, see table below.

The standard deviation of parameters c en cotan(a) are not based on observations and were estimatedDe standaardafwijking van parameters c en cotan(a) zijn niet gebaseerd op waarnemingen en dus schattingen.

Tabel 3.3 Overzicht geometrische variabelen. Omrekening verwachtingswaarde en standaardafwijking vanuit het gemiddelde en standaardafwijking van de onderliggende normale verdeling:  en

Voor bepaling van de kans op overschrijding van de toelaatbare inscharingslengte moet de volgende betruwbaarheidsfunctie opgelost worden:

Deze functie kan exact opgelost worden door de kansdichtheidsfuncties alle variabelen in bovenstaande tabel mee te nemen, niveau III, of door de functie te lineariseren in het ontwerppunt, waarbij de kansverdeling van elke variabele wordt benaderd door een standaard normale verdeling, niveau II. Dit laatste vindt plaats in een FORM analyse. Navolgend worden twee methoden beschreven om de overschrijdingskans van de inscharingslengte te berekenen:

• Met de software D-FlowSlide, waar “onder de motorkap” een FORM analyse is ingebouwd en waarin alle stochastische variabelen worden meegenomen.
• Een handmatige FORM berekening, waarin enige vereenvoudigingen worden aangenomen.

Voor meer details wordt verwezen naar de [CUR190].

Methode D-FlowSlide

In de software D-FlowSlide wordt de betrouwbaarheidsfunctie met een FORM analyse, aangeroepen uit de probabilistische bibliotheek, opgelost. Daarnaast wordt de volumebalans niet met vergelijking (2.4) opgelost, maar numeriek. Daarmee kan rekening worden gehouden met beperkte berging, bijvoorbeeld in het geval van een smalle geul.

Benaderende methode (analytisch)

Uit probabilistische berekeningen blijkt dat cotana, cotanb, D/H en c een kleine invloed hebben op de overschrijdingskans (de invloedsfactor is klein). Daarom kan de FORM analyse vereenvoudigd worden door deze parameters deterministisch te nemen, dus de verwachtingswaarden, E(X), aangegeven in Tabel 3.3.

Met deze kentallen is het mogelijk de overschrijdingskans van L te bepalen en vervolgens de kans dat L groter is dan L_toelaatbaar. Als betrouwbaarheidsfunctie wordt dus vergelijking (2.5) genomen. Hierin is L de optredende inscharingslengte die berekend wordt met vergelijking (2.4) op basis van de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van cotang en L_toelaatbaar, dat is de aanwezige lengte van het voorland. In dit geval is cotang de enige stochast, dus kan de betrouwbaarheidsindex b worden bepaald door vergelijking (2.6) op te lossen voor cotang, lognormaal verdeeld. Oplossen van deze vergelijking kan door middel van iteratie.

Een zoekalgoritme voor de iteratie wordt gegeven door het volgende stroomschema.

1         Start met  en bepaal L voor

2         Bepaal de waarde van de relatieve afstand[2] L_toelaatbaar /L

3         Gebruik  als nieuwe waarde voor b en  bepaal L voor

4         Herhaal de stappen 1 tot 3 tot de waarde van b is gevonden waarvoor

Om te compenseren voor de niet beschouwde stochastische variabelen cotana, cotanb, D/H en c moet de berekende betrouwbaarheidsindex gecorrigeerd worden. Op basis van een kalibratie, waarbij b is berekend in een FORM-analyse met alle parameters als stochast (x-as) en een FORM-analyse waarbij alleen cotg als stochast is meegenomen (y-as), blijkt dat de  in hierboven gegeven stappen berekende b gedeeld moet worden door een factor 1,10.

Uitgaande van een Gauss-verdeling, wordt de overschrijdingskans van de toelaatbare inscharingslengte vervolgens berekend met:

Rekenvoorbeeld:

De toelaatbare inscharingslengte bedraagt 60 meter, de helling van het voorland cotana = 6 en de diepte van de geul H = 15m. Voor de overige parameters wordt de verwachtingswaarde genomen. De iteratie om b te bepalen ziet er als volgt uit.

1         ;          

2        

3        

4         De iteratiestappen 1 tot 3 worden herhaald. De berekende waarden staan in onderstaande tabel.

Itereren van  naar  levert dus , zodat en . De gecorrigeerde betrouwbaarheidsindex bedraagt nu , wat neerkomt op een kans .

Stap 4

Bepaal overschrijdingskans toelaatbare inscharingslengte per dijkvak P(L > L_toelaatbaar)_vak

waarin L_vak de lengte van het dijkvak is.

Stap 5

Bepaal toelaatbare faalkans per dijkvak P(L > L_toelaatbaar)_{vak,toelaatbaar}

De berekende kans uit vergelijking (2.8) dient nu te worden getoetst aan een maximaal toelaatbare faalkans.

In zowel de globale als gedetailleerde toets wordt getoetst of de bijdrage van zettingsvloeiing aan de kans op een direct faalmechanisme verwaarloosbaar klein is. Gecontroleerd wordt of de kans dat de inscharing voorbij de invloedslijn komt voldoende klein is. Als dit zo is, zal de bijdrage van zettingsvloeiing aan de overstromingskans eveneens verwaarloosbaar zijn. Omdat de toelaatbare overstromingskans voor het traject volgens de norm (P_traject) (als het goed is) al in de locatie van de invloedslijn verwerkt zit, is een koppeling van de toelaatbare overschrijdingskans door een inscharing door een zettingsvloeiing aan de norm niet nodig. Wel moet de lengte van het voor zettingsvloeiing beschouwde dijkvak meegenomen worden.

Dit leidt tot de volgende toelaatbare kans:

Stap 6

Vergelijk berekende overschrijdingskans toelaatbare inscharingslengte per dijkvak P(L > L_toelaatbaar)_vak met toelaatbare faalkans P(L > L_toelaatbaar)_{vak,toelaatbaar}

Vergelijk P(L > L_toelaatbaar)_vak met P(L > L_toelaatbaar)_{vak,toelaatbaar}

Indien P(L > L_toelaatbaar)_vak ≤ P(L > L_toelaatbaar)_{vak,toelaatbaar} is het oordeel “voldoet zeker”, anders wordt doorgegaan naar toetsniveau 3 (toets op maat).

Conversion of expected value and standard deviation from average and stand deviation of the underlying normal distribution: Image Added en Image Added

To determine the probability that the retrogression length L is larger than the maximum allowable retrogression length L_toelaatbaar the following reliability function (z-function) should be solved:

In D-FlowSlide the equation is solved using a FORM analysis. The probabilistic parameters are D/H, c, cotan γ and cotan β. The balance between c.Area 1 and Area 2 is solved numerically. This means that in case of a narrow channel, the retrogression length will smaller compared with a wide channel.

Note: During the different steps of the FORM analysis, the values of the four probabilistic parameters (D/H, c, cotan γ and cotan β) can lead to a damage profile outside the geometry limits. That's why the program extrapolates the geometry at both left and right sides by extending the surface line with an horizontal line (length is 1000 m) starting at the point situated at geometry limit as illustrated in figure below.

Image Added